Задача 565. Решение

Задача 565

Доказать в две строчки, что .

Задача 564.Решение

Задача 564

Покажите что ряд

из чисел, обратных простым, расходится.

Задача 415. Решение

Нечётное совершенное число I

Тогда как вопрос с чётными совершенными числами практически решён и свёлся к поиску новых чисел Мерсенна, вопрос о нечётных совершенных числах так и остаётся нерешённым. Мы даже не знаем существуют ли они. С другой стороны, всё не так плохо. Установлено немало ограничений на возможный их вид. Начнём с классического результата Эйлера:

Всякое нечётное совершенное число имеет вид , где

Он довольно просто доказывается, но из него можно «бесплатно» получить немало интересных следствий. Например:

• Всякое нечётное совершенное число представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел
• Никакое нечётное совершенно число не может одновременно делиться на 3, 5 и 7 (Эта задача была в задачнике журнала «Квант»)

Непосредственно из определения совершенного числа следует, что

Убрав из этой суммы , получим:

Т.е., если существует нечётное совершенное число, то должны существовать такие различные нечётные числа, большие единицы, что сумма чисел обратных им равна 1(к сожалению обратное утверждение неверно). Эта задача интересна сама по себе и можно заняться поиском таких чисел. Оказывается что таких нечётных чисел должно быть не меньше девяти. Пример:

Отсюда можно получить такое следствие(вспомнив про выброшенную единицу):

• У нечётного совершенного числа не менее 10 делителей

Конечно, это слабый результат, но зато он получен своими силами.

Задача 415

Найдите сумму

Задача 320.Решение

Задача 320

Пусть – сумма первых простых чисел. Докажите, что между и всегда существует квадрат целого числа.

Задача 99. Решение

Решение 1.